مابعدالطبيعه و رياضيات در فرهنگ كهن اسلام

زيرعنوان: ابن سينا و وارثان او

تحقيقات پيشرفته رياضي مدت هفت قرن در مراكز شهري اسلام به زبان عربي صورت مي گرفت. ما در اينجا حقّ اين پرسش را داريم كه آيا فيلسوفان موضوعاتي را كه در اين زمينه يافته بودند تا در آن تأمّل كنند، و آيا در جستجوي الگوهايي در رياضيات براي تبيين نظام خود برآمدند؟ و يا اينكه برعكس، به آنچه مورخان فلسفه مي خوانند، يعني اصل وجود و نفس كه رشته هاي ديگر علوم به آن توجهي نداشتند و از هرگونه دغدغه اي جز دغدغه دين فارغ بود، توسل جستند؟ ( به اختصار ميراثي از اواخر دوره باستان با عنوان اسلام (1)). چنين پرسشي هم براي مورّخ فلسفه و هم مورّخ علم مي تواند حائز اهميت باشد. واقعاً چگونه مي توان تصور كرد كه فيلسوفان در برابر درخشش بي سابقه علوم رياضي و دستاوردهايش- جبر،‌ هندسه جبري، ‌آناليز ديوفانتي، نظريه موازي ها و روش هاي تصويري- بي تفاوت مانده باشند؟ حتي باور آن دشوارتر است كه، در حالي كه رياضيات جديد به وضوح مسائل معرفت شناختي كاملاً جديدي را مطرح مي كند، نتوانسته باشند هيچ واكنشي از خود نشان دهند. از آن جمله است مسئله كاربردي كردن رياضيات: پيش تر رشته هاي رياضي هرگز پيوندي كاربردي با يكديگر نداشتند؛ هيچ گاه اين نياز احساس نشده بود كه رياضيات در فيزيك كاربرد داشته باشد و شرطي است در يقيني بودن فيزيك؛ و هيچ گاه به فكر كسي خطور نكرده بود كه كسي رشته اي را ابداع كند كه بتواند نتايج را با هندسه مكاني ( positional geometry) و هندسه متريك بيان دارد. به عبارت ديگر، پيش از هر چيز نوعي توپولوژي (2) (topology) بود. اين رويدادهاي معرفت شناختي تنها رويدادهاي ممكن نبودند؛ و جاي شگفتي است اگر همه آنها از ديد فيلسوفان دور مانده باشد، فيلسوفاني كه بعضي از آنها خود رياضي دان بودند و بيشتر آنها با نظريه هاي جديد آشنايي داشتند. البته لازم نيست كه رشته يا فعاليتي علمي ضرورتاً واجد فلسفه اي مناسب خود نيز باشد؛ نيز لزومي ندارد كه فيلسوف در گسترش رياضيات و علم نقشي ايفا كند. به تعبير ديگر، در روابط ميان رياضيات و فلسفه نظري پيش نيازي وجود ندارد؛ اما اين نيز دليل ديگري است بر طرح اين پرسش و بازگشت به نوشته هاي فيلسوفان و رياضي دانان به منظور تلاش در تبيين اين روابط. يكي از نتايج هم اكنون مسلّم مي نمايد: با انتقاد از اين عمل در مواردي چند، گمان مي كنم كه بخش عمده اي از فلسفه رياضي را كه تاكنون در گذشته اسلام ناشناخته مانده است، در ميان رياضي داناني چون سجزي، ابن سنان، ابن هيثم و امثال آنها و نيز فيلسوفاني چون كندي، فارابي و ابن سينا نشان داده ام.
اين بار در نظر داريم جنبه ديگري از روابط ميان رياضيات و فلسفه را در اسلام مورد بررسي قرار دهيم:يعني پيوندهايي كه زماني آغاز مي شود كه فيلسوف ابزاري را از رياضيات براي حل يك مسئله منطقي- رياضي وام مي گيرد. موضوع مورد بحث ما در اينجا يك ويژگي خاص دارد: اين وام گيري، با اثري معكوس، براي پيشرفت حوزه رياضي كه ابزار اين كار را فراهم آورده مفيد است. تبادل ميان آناليز تركيبي و مابعدالطبيعه، تصوير جالبي است از اين حركت دوجانبه. ابن سينا براساس انديشه هاي جهان شناختي و هستي شناختي اش، شرحي از اصل صدور از واحد ارائه داده بود. خواجه نصير در گرفتن كثرت از وحدت متوجه شد كه مي توان ساختاري تركيبي به مذهب خود ابن سينا داد كه در آن زمان از جبردانان وام گرفته بود. به منظور ممكن ساختن اين عمل خواجه نصير، قواعد تركيبي بود كه تولد اين رشته علمي موسوم به آناليز تركيبي را تأييد كرد؛ و وارثان رياضي خواجه نصير، از جمله فارسي و ابن بنّا، از آن بهره جستند. بر اين اساس، يكي از فيلسوفان اخير به نام حلبي تلاش كرد با دادن عنواني به آن كه از استقلال آن حكايت داشت، اصول اين رشته جديد را تنظيم كند.
اما پيش از بررسي اين جنبش، بايد ابتدا آن را از شيوه اي كه ريموند لول (Raymond Lulle) پيش گرفت متمايز سازيم. او مفاهيم را طبق قواعد مكانيكي تركيب كرد، كه نتايج آن بعدها تبديل به تمهيدات يا تركيبات شد. ولي لول از رياضيات چيزي وام نگرفت و هرگز امري رياضي را در رويّه خود به رسميت نشناخت. در برابر، كار خواجه نصير به رويّه لايب نيتز نزديك تر است، به رغم آنچه اين دو طرح را از يكديگر جدا مي كند .چنان كه گفتيم، خواجه نصير قصد داشت براي مسئله صدور كثرت از واحد راه حلي رياضي ارائه دهد، كه موجب شد به اصل خلق ابن سينا شكلي تركيبي بدهد. لايب نيتز مايل بود براساس تركيبات (combinatorics)، « هنر كشف حقايق »( Ars inveniendi) را پي ريزي كند.

بخش دوم

صدور عقول و كرات سماوي، و همچنين عوالم ديگر- عوالم طبيعت و موجودات مادي- از واحد، يكي از اصول عمده مابعدالطبيعه ابن سيناست. اين اصل، موضوعي را مطرح مي كند كه هستي شناختي و در عين حال عقلاني است: چگونه ممكن است از وجود واحد و بسيط كثرتي صادر شود كه درنهايت، ماده و صورت اجسام و نفوس بشري را در خود دارد؟ اين دوگانگي هستي شناختي و عقلاني، مانع يا مشكلي منطقي و مابعدالطبيعي ايجاد مي كند كه بايد روشن و حل شود. از اين ديدگاه، دست كم خواهيم فهميد كه چرا ابن سينا، در نوشته هاي گوناگون خود بي امان به اين اصل و به طور ضمني به اين مسئله مي پردازد.
مطالعه ی سير تحول تاريخي انديشه ابن سينا درباره اين مسئله در نوشته هاي گوناگون او نشان مي دهد كه چگونه توانست صورت بندي اوليه اين مشكل را تغيير دهد. اگر به شفاء و اشارات و تنبيهات اكتفا كنيم، مي بينيم كه ابن سينا اصول اين انديشه و نيز قواعد صدور اشياي كثير از واحد بسيط را بيان مي كند. به نظر مي رسد كه شرح او منظم و دقيق است، اما اعتبار برهاني محكمي ندارد؛ زيرا قواعدي را كه بتواند با معناي فيض سازگار باشد ارائه نمي دهد. دقيقاً همين جاست كه مشكل مسئله صدور كثير از واحد مطرح مي شود؛ اما اين صدور همواره يك مسئله بوده و از همين جهت مورد بررسي قرار گرفته است. خواجه نصير طوسي، رياضي دان، فيلسوف و شارح ابن سينا، نه فقط مشكل را درك كرد بلكه در جستجوي رفع كاستي در قواعد منظم آن نيز برآمد.
خواجه نصير در شرح اشارات و تنبيهات زبان و نحوه تركيبات را بيان مي كند تا فيض را تا مرتبه سوم وجودات ادامه دهد. سپس در كاربرد اين رويه تأمل مي كند و چنين نتيجه مي گيرد:« پس اگر از اين مراتب [ يعني سه مرتبه نخست ] بگذريم، وجود كثرتي بي شمار در مرتبه اي واحد تا بي نهايت جايز خواهد بود. »(3) بنابراين، مقصود خواجه نصير روشن است و شيوه اي كه نسبت به سه مرتبه اول به كار مي رود جاي ترديدي باقي نمي گذارد: مي خواهد دلايلي اقامه كند و روش هايي ارائه دهد كه ابن سينا طرح نكرده بود. اما در اين مرحله، خواجه نصير هنوز از هدف خويش دور است. شروع از تركيبات براي پاره اي اشيا يك چيز است، اما طرح يك زبان، همراه با دستور آن چيز ديگري است. در اينجا زبان مورد بحث تركيبات است؛ و خواجه نصير در رساله اي مستقل به شرح مقدمه اين زبان مي پردازد.(4) عنوان اين رساله هيچ ابهامي باقي نمي گذارد: في كيفية صدورالكثرة عن المبدأ الواحد. چنان كه خواهيم ديد، اين بار خواجه نصير كار خود را به مدد تحليل تركيبي ادامه مي دهد. متن خواجه نصير و نتايج موجود در آن با رفتن مؤلفش از بين نرفت، بلكه آن را در رساله اي متأخّر كه سراسر به تحليل تركيبي پرداخته است مي يابيم. بنابراين، راه حل خواجه نصير نه فقط شيوه اي از پژوهش فلسفي را مشخص مي كند، بلكه نشان مي دهد سهم عمده اي در تاريخ خود رياضيات دارد.
براي درك اين سهم، بايد به نوشته هاي ابن سينا بازگرديم تا اصول انديشه او را كه براي بحث ما ضروري است، بازيابيم. همچنين بايد در چارچوب شرح تلفيقي او تا حدودي مباني صوري را كه اصل آن مقدمه قواعد تحليل تركيبي را ممكن مي سازد، دريابيم. درحقيقت همين اصل است كه به ابن سينا اجازه مي دهد شرح خود را به صورت قياسي ارائه دهد.
از يك سو، مي بايست وحدت وجود را تضمين مي كرد كه در همه چيز به مفهومي واحد وجود دارد؛ و از طرفي ديگر، به تفاوت مسلم بين مبدأ نخستين و مخلوقاتش نياز داشت. بدين ترتيب وي مفهومي كلي، و « صوري » از وجود ارائه مي دهد: وجود بماهو وجود كه هيچ حدّ و حتي جهتي ندارد، بلكه فقط وجود است. اين وجود جنس نيست، بلكه « حالتي » است از هر آنچه هست و با نقيض آن لاوجود درك مي شود، بدون آنكه لاوجود بر آن تقدم زماني داشته باشد؛ اين نقيض تنها در عقل وجود دارد. به علاوه، تنها وجود مبدأ نخستين قائم به ذات است.(5) بدين سان، اين وجود تنها وجود ضروري است و فقط در اين صورت است كه وجود با ماهيت يكي است. موجودات ديگر جملگي وجود خود را، به واسطه فيض، از مبدأ نخستين دريافت مي كنند. اين هستي شناسي و جهان شناسي همراه با آن، سه ديدگاه ارائه مي دهد كه يك وجود از آنها قابل تصور است: وجود بماهو وجود، فيض بماهو فيض از مبدأ نخستين، و وجود بماهو وجود از ماهيت.(6) از نظر دو ديدگاه نخست، ضرورت اين وجود مهم تر از همه است، اما امكان آن با مورد سوم آشكار مي شود. اين ديدگاه ها، كه به اجمال ذكر شد، ديدگاه هايي هستند كه ابن سينا مفروضات خود را بر پايه آنها استوار ساخته است و از اين قرارند:
1- مبدئي نخستين وجود دارد، وجودي كه بالذات واجب است، واحد است و از هر نظر تقسيم ناپذير، نه جسم است و نه در جسم.
2 - مطلق وجود از مبدأ نخستين صادر مي شود.
3 - اين فيض نه « بر سبيل قصد » است و نه براي رسيدن به هدفي، بلكه به ضرورت وجود مبدأ نخستين است؛ يعني تعقل ذاتي خداوند.
4 -از واحد جز واحد صادر نمي شود.
5- سلسله مراتبي در فيض وجود دارد، از كامل ترين تا ناقص ترين وجودات.
ممكن است گمان رود كه تناقض هايي بين برخي از اين مفروضات وجود دارد، مثل مورد 2 و 4؛ يا مثلاً برخي از آنها نتايج متضادي دارند. ابن سينا به منظور اجتناب از اين ديدگاه نخست، در جريان استنتاج هاي خويش راه حل هاي تكميل كننده اي ارائه مي دهد. بدين سان، از موردهاي 1، 2، 4 و 5 به دست مي آيد كه مطلق وجود، خارج از مبدأ نخستين، مجموعه اي است كه نسبت قبل و بعد آن را، چه از نظر منطقي و چه از نظر ارزشي، با توجه به اولويت وجود و برتري آن تعيين مي كند. هر وجودي، به استثناي مبدأ نخستين، تنها مي تواند يك وجود پيشين داشته باشد كه آن هم واحد است. به همين ترتيب، هر وجودي، از جمله مبدأ نخستين، مي تواند يك وجود پس از خود داشته باشد. اما، ابن سينا و شارح او پي مي برند كه اگر اين نظام به مفهوم دقيق آن درك شود، وجود كثرت ها را از بين مي برد؛ يعني وجود مستقل آنها بدون آنكه بعضي از آنها منطقاً پيش از ديگري يا كامل تر باشند. خواجه نصير مي گويد ديدگاه مزبور اين نظام را آشكارا باطل مي كند.(7) بنابراين بايد ويژگي هايي تكميل كننده و نيز وسايطي را مطرح كرد.
باز به نوبه خود، مورد اول و دوم مانع آن مي شود كه كثرت از دواعي ( نزوعات ) و جهان مبدأ اول صادر شود، زيرا فرض وجود دواعي و جهات در آن به معناي انكار فرديّت و بساطت آن است. و سرانجام، مورد سوم و پنجم حكايت از آن دارد كه فيض، به منزله فعل مبدأ نخستين، مانند فعل بشري نيست. بدين ترتيب، هر چيزي نشان از اين دارد كه وسايط، كه قطعاً در سلسله مراتبي قرار دارند، بايد وجود داشته باشند، اما به ما اجازه مي دهند كه شرحي از كثرت و پيچيدگي ارائه دهيم.
بهتر است با مبدأ نخستين آغاز كنيم و مانند ابن سينا در رساله اش النيروزيه آن را « الف»، اولين حرف الفبا بخوانيم. مبدأ نخستين ذاتاً خود را « تعقّل » مي كند. در تعقل خويش كلّ وجود را كه مبدأ حقيقي آن است(8)، تعقل مي كند، بدون آنكه مانعي در افاضه اين كليت و امتناعي در آن وجود داشته باشد. بنابراين، تنها به اين مفهوم است كه مي توان گفت مبدأ نخستين فاعل مطلق وجود است.
اكنون توضيح اين نكته باقي مي ماند كه اين فيض ضروري مطلق وجود چگونه اتفاق مي افتد، بدون نياز به افزودن چيزي كه با يگانگي مبدأ نخستين در تضاد باشد. طبق موارد يك، چهار و پنج، يك حقيقت واحد از مبدأ نخستين سرچشمه مي گيرد و ضرورتاً در وجود و كمال در مرتبه اي پايين تر قرار دارد. اما از آنجا كه از وجودي سرچشمه مي گيرد كه واحد، خالص و بسيط و در عين حال حقيقت محض، قدرت محض و خير محض است- بدون آنكه اين صفات به طور مستقل در آن وجود داشته باشد، و وحدت مبدأ نخستين مخدوش شود- اين وجود تبعي تنها مي تواند عقل محض باشد. اين استلزام به مورد چهارم مربوط مي شود،‌ زيرا اگر اين عقل خالص نباشد، مي توان نتيجه گرفت كه بيش از يك چيز از واحد صادر مي شود. موجود مورد بحث، عقل مجرد اول است،‌معلول اول از مبدأ نخستين. ما نيز مانند ابن سينا آن را « ب» مي خوانيم.
اكنون همه چيز براي شرح پيچيدگي و كثرت مهيّاست. اين عقل محض به ذات خود معلول است و بنابراين ممكن. اما در مقام فيض مبدأ نخستين،‌ ضروري است، زيرا مبدأ نخستين آن را تعقل كرده است. كثرتي عقلي بر روي اين دوگانگي وجودي بار مي شود: عقل محض به خود، و به وجود خود همچون وجودي ممكن علم دارد؛ به عبارت ديگر، ذات آن با ذات مبدأ نخستين كه واجب است تفاوت دارد. با اين حال، از طرف ديگر، به مبدأ نخستين در مقام وجودي ضروري علم دارد. و سرانجام به ضرورت وجود خود به منزله فيضي از مبدأ نخستين عالِم است. من در اينجا جملات كتاب شفا را فقط با عباراتي ديگر بيان كردم.(9) وي پيشاپيش به منتقد بالقوه چنين پاسخ مي دهد كه اين كثرت و پيچيدگي، مِلكي موروثي نيست: عقل محض از مبدأ نخستين آن را دريافت نمي كند، به دو دليل. نخست آنكه امكان وجود آن به ذات خود آن تعلق دارد نه به مبدأ نخستين كه ضرورت وجودش را به آن بخشيده است.به علاوه، علمي كه به خود دارد و علمي كه به مبدأ نخستين دارد، كثرتي است كه از ضرورت وجودش از مبدأ نخستين ناشي مي شود. در چنين شرايطي است كه ابن سينا اتهام وصف كثرت به مبدأ نخستين را رد مي كند.
سپس ابن سينا توضيح مي دهد كه چگونه از اين عقل محض، عقول مجرّد ديگر، افلاك سماوي و نفوسي كه امكان فعاليت به عقول را مي دهند، سرچشمه مي گيرند. بدين سان، از عقل محض «ب»، با تعقل « الف»، عقل ديگر «‌پ» افاضه مي شود؛ و با تعقل ذاتش، نفس فلك نهم به وجود مي آيد؛ و با تعقل وجودش به منزله وجودي ممكن، جسم فلك نهم صادر مي شود. نفس اين فلك و جسم آن را « ت» مي خوانيم.
ابن سينا سپس به شرح افاضه عقول و كُرات سماوي و نفوس و اجسام آنها مي پردازد. بنابراين از هر عقلي ماده ی موجودات تحت قمر، صورت اجسام، و نفوس بشري صادر مي شود.
اما توضيح ابن سينا، هرچند مسئله كثرت حاصل از واحد را از پيچيدگي جدا نمي كند- يعني از محتواي وجودي كثرت- با اين حال، علم دقيق از آن نمي دهد، از آن نظر كه قاعده اي كلي ارائه نمي دهد. ابن سينا اين عناصر را فقط به عقل فعال بازمي گرداند. اين همان جايي است كه خواجه نصير پا در ميان مي گذارد. وي نشان مي دهد كه در واقع از مبدأ نخستين، طبق قواعد ابن سينا، و به كمك شماري محدود از وسايط كثرتي صادر مي شود، به گونه اي كه هر معلولي فقط يك علت دارد كه وجود آن مستقل است. چنان كه خواهيم ديد ارزش اين پيشرفت آشكار در علم به كثرت، از بين رفتن محتواي وجودي است؛ درواقع از پيچيدگي و كثرت، تنها كثرت باقي مي ماند.
نظر خواجه نصير آن بود كه اين مسئله را به مطالعه اي تركيبي محوّل كند. در هر حال، براي ممكن شدن مداخله تركيبات، بايد مطمئن شويم كه زمان متغير بي اثر شده است. در مورد اصل فيض، اين امر يا به كنار نهادن صيرورت، يا دست كم به تفسير آن به صورتي كاملاً منطقي تغيير مي يابد. چنان كه ديديم، ابن سينا خود اين پيش شرط را فراهم آورد. چنان كه به درستي بيان شده است، فيض در زمان صورت نمي گيرد(10) و تقدم و تأخّر را بايد به مفهومي ذاتي دانست نه زماني.اين تفسير كه به نظر ما در نظام ابن سينايي بسيار اهميت دارد، تصور وي درباره وجوب، امكان و محال را پيش روي ما مي نهد. بايد يادآوري كنيم كه ابن سينا اين مسئله قديمي را دوباره در كتاب شفا (11) مطرح مي كند تا از همان آغاز همه انديشه هاي كهن را رد كند. به نظر ابن سينا در اينجا دور پيش مي آيد: براي تعريف يكي از سه حد، بايد به يكي از دو تعريف باقي مانده متوسل شويم. وي براي از بين بردن دور، تعريف هر حدي را تعيين مي كند و آن را به مفهوم وجود بازمي گرداند. ابن سينا وجود بالضّروره ذاتي را از آنچه ذاتاً مي تواند موجود باشد يا نباشد، جدا مي كند. از نظر او امكان و وجوب، ذاتي خود موجودات اند. وجود ممكن و نيز عدم آن وابسته به علتي خارج از آنهاست. بنابراين امكان ضرورتي « نازل شده » نيست،‌ بلكه نوع ديگري از وجود است. حتي ممكن است وجود امكاني، در حالي كه به ذات خود ممكن است، بالضروره تابع وجودي ديگر باشد. در اينجا قصد نداريم به ظرافت هاي كار ابن سينا اشاره كنيم، فقط يادآور مي شويم كه ابن سينا از اين تعريف خاص ضروري و ممكن، حدود فيض را در چهارچوب طبيعت موجودات قرار مي دهد و لذا زمان متغيّر را، چنان كه پيش تر تأكيد كرديم، بي اثر مي سازد. از اين تعاريف، او قضايايي را استنباط مي كند كه بيشتر آنها با ارجاع به امر محال اثبات مي شوند. او نشان مي دهد كه آنچه واجب است نمي تواند وجود نداشته باشد؛ و به ذات خود نمي تواند علت داشته باشد؛ ضرورت آن از همه جهات است؛ بسيط است و تركيب در آن راه ندارد، و از اين جمله. وجود ضروري، در همه اين موارد مخالف با ممكن است. بنابراين در تعريف واجب و ممكن و در بحث بين آنهاست كه تقدم مبدأ اول، و نيز ارتباطش با عقول براي هميشه ثابت مي ماند. بنابراين، اگر بتوانيم فيض را بدون توسل به زمان وصف كنيم تا آنجاست كه حدود آن در چهارچوب منطقِ واجب و ممكن باشد. در اينجا اهميتي ندارد كه اين اصل بدون مشكل نيست. در هر حال، مي دانيم كه ابن سينا خود پيش تر شرايط را براي طرح تركيبات آماده كرده بود.
گفتيم كه « ب » از « الف» ناشي مي شود؛ بنابراين، «‌ب» در بالاترين مرتبه معلولات قرار دارد. از « الف»‌و « ب» با يكديگر، « ج»، عقل دوم صادر مي شود. از «ب»‌« ج» يا كره سماوي صادر مي شود. بنابراين در مرتبه دوم ما دو اصل داريم، « ج» و « د»، كه هيچ يك علت ديگري نيستند. تا اينجا در مجموع چهار اصل داريم: علت اول « الف»، و سه معلول، « ب»، «ج»، «د». خواجه نصير اين چهار مورد را اصول مي خواند. حال اين اصول را دو به دو، سپس سه به سه و درنهايت، چهار به چهار با يكديگر تركيب مي كنيم. بنابراين به ترتيب شش تركيب به دست مي آيد: الف ب، الف ج، الف د، ب ج، ب د، ج د؛ چهار تركيب: الف ب ج، الف ب د، الف ج د، ب ج د؛ و نيز يك تركيب چهار اصلي: الف ب ج د. اگر ما تركيبات اين چهار اصل را يك به يك در نظر بگيريم، مجموع پانزده اصل خواهيم داشت كه دوازده مورد آن به مرتبه سوم معلول ها تعلق دارد، بدون آنكه بعضي از آنها واسطه اي باشند تا از موارد ديگر ناشي شوند. اين چيزي است كه خواجه نصير طوسي در تفسيرش بر اشارات و تنبيهات و نيز در رساله اي كه ذكر كرديم بيان مي كند. با اين حال، به محض آنكه فراتر از مرتبه سوم برويم، وضع به سرعت پيچيده تر مي شود و خواجه نصير طوسي لِم زير را در رساله اش مطرح مي كند.
تعداد تركيبات n عنصر برابر است با:

خواجه نصير طوسي براي محاسبه عدد بالا از تساوي زير استفاده مي كند:

بدين سان، براي n=12، وي 4095 عنصر به دست مي آورد. بايد توجه داشت كه به منظور استنتاج اين اعداد، عبارت هاي جمع را با تركيب حروف الفبا نشان مي دهد.
خواجه نصير سپس به محاسبه عدد عناصر رتبه چهارم بازمي گردد. سپس چهار اصل را با دوازده موجود رتبه سوم موردتوجه قرار مي دهد: او از 16 عنصر 65520 اثر به دست مي آورد. خواجه نصير براي رسيدن به اين رقم، از عبارتي هم ارز با مورد زير كمك مي گيرد:

كه ارزش آن ضريب دو جمله اي است:

هيچ يك از اين عناصر به جز « الف»، « ب» و « الف ب» - واسطه اي براي موارد ديگر نيستند. بنابراين پاسخ خواجه نصير كلي است و(*) به ما اجازه مي دهد تا كثرت را در هر مرتبه اي بشناسيم.
خواجه نصير پس از اثبات اين قواعد و با ارائه مثال رتبه چهارم با 65520 عنصرش مي تواند به صراحت بگويد كه به اين مسئله پاسخ داده است كه « امكان افاضه كثرت عددي از مبدأ نخستين، در شرايطي كه فقط واحد از واحد صادر مي شود و معلول ها ( در يك سلسله ) پي در پي مي آيند، وجود دارد. براي اين موضوع بايد برهان اقامه شود. (12)»
موفقيت خواجه نصير طوسي كه توانست زبان آناليز تحليلي را به هستي شناسي ابن سينا بدهد، دو تحول مهم در انديشه هاي ابن سينا و تركيبات پديد آورد. پيداست كه اين بار مسئله كثرت، با اندكي فاصله از مسئله پيچيدگي وجود تداوم پيدا مي كند. خواجه نصير درواقع به حالت وجودي هيچ كدام از هزاران وجودي كه مثلاً رتبه چهارم را تشكيل مي دهند، نمي پردازد. كل موضوع هم اين نيست: گفتار مابعدالطبيعي اكنون به ما اجازه مي دهد درباره وجودي سخن گوييم بي آنكه بتوانيم آن را به دقت بيان كنيم. اين تحول « صوري »‌هستي شناسي، كه در اينجا آشكار است، تنها تمايلي را كه ابن سينا در پرداختن به « شي » داشت و ما در جاي ديگر بر آن تأكيد كرديم، بالا مي برد.(13)اين حركت « صوري‌ « را امكان دادن حروف الفبا به وجودات شدت مي بخشد. حتي مبدأ نخستين هم از اين قاعده مستثنا نمي شود، زيرا با حرف «‌ الف » شناخته مي شود. در اينجا نيز خواجه نصير سنتي ابن سينايي را شرح و بسط مي دهد، اما مفهوم آن را تغيير مي دهد. ابن سينا در رساله نيروزيه به اين نمادگرايي توسل جسته است اما با دو اختلاف: اول اينكه وي به توالي حروف الفباي عربي با ترتيب ابجد هوّز، ارزش ترتيب اولويت و تقدم منطقي را بخشيده است؛ دوم اينكه، از ارزش هاي عددي حروف( الف= 1 و ب= 2 و غيره ) استفاده كرده است. گرچه خواجه نصير، مانند ابن سينا با «الف » خواندن مبدأ نخستين و « ب» خواندن عقل، به طور ضمني ترتيب الويت را حفظ مي كند، ولي سلسله مراتب را به جاي ارزش متعارف نمادين رد مي كند و ارزش عددي از بين مي رود. به علاوه، اين امر به منظور آنكه موضوع تركيبات قرار گيرد، ضروري بود.
خواجه نصير، در مقام يك رياضي دان و فيلسوف، از طريق اصل ابن سينايي فيض به مفهومي رسمي مي انديشد، و در نتيجه، از گرايشي دفاع مي كند كه قبلاً در هستي شناسي ابن سينا وجود داشته است. مورخ رياضيات نمي تواند نسبت به تحول دوم، بي تفاوت بماند. براي پي بردن به اهميت آن، به دو حقيقت تاريخي به اختصار اشاره مي كنيم. اولي به اواخر قرن دهم ميلادي بازمي گردد، زماني كه كَرَجي مثلث حسابي، قانون تشكيل آن و فرمول گسترش دوجمله اي را طرح كرد. كَرَجي اين جملات را به كمك استقراي رياضي محدود و منسوخي ثابت كرد. اينها فرمول هايي جبري هستند كه به يقين، هرچند به طور ضمني، مفهومي تركيبي را دربردارند. جانشينان كَرَجي نيز به اين مفهوم تركيبي توسل جستند، اما آن را در حد گسترده تري بيان نكردند. خواجه نصير در اثرش جوامع الحساب اين قواعد را به گونه اي كه كَرَجي به آن رسيده است بيان مي كند، ولي بدون تأكيد زياد بر اين مفهوم ضمني. وانگهي، مي دانيم كه از زمان خالد بن احمد در قرن هشتم، فرهنگ نويسان و زبان شناسان از روش هاي تركيبي، كه علاقه اي به اثبات آنها نداشتند، استفاده كرده بودند. با اين همه، برخلاف رياضي دانان، آنان بر ماهيت تركيبي اين روش ها اصرار مي ورزيدند. اين دو جريان در متن خواجه نصير در كنار يكديگر قرار دارند،‌و بدين سان او تحليل تركيبي را بنيان مي نهد، كه دوراني شكوفا در تاريخ علم رياضي به وجود مي آورد. اين بار، به فرمول هاي جبري، صريحاً مفهومي تركيبي داده مي شود، و با محاسبات بر روي حروف نشان داده مي شوند. بدين سان، گويا كاربرد اين حساب در زمينه هايي مثل زمينه مورد بحث ما، الهامي بوده، و رياضي دان را بر آن داشته است تا مفهوم تركيبي اساسي را نشان دهد و دو جرياني را كه پيش تر مستقل از يكديگر بوده اند، با هم درآميزد. اين نكته كه آيا اين عمل وحدت بخش را خواجه نصير انجام داده يا يكي از پيشينيان در اختيارش قرار داده كه هم رياضي دان بوده است و هم فيلسوف، و اكنون براي ما ناشناخته است، توضيحي تاريخي است كه چندان مورد توجه ما نيست. در هر حال، اين كار زبان تركيبات را با زبان ابن سينا وفق داد، و آن را مسلح به قواعدي دستوري كرد كه اساساً فاقد آن بود. چنان كه ديديم، اين اصل، بي هيچ هزينه اي پديدار نشد، زيرا اين دستاورد به بهاي غناي شهودي حاصل آمد.

بخش سوم

بازگشت به تاريخ رياضيات اين امكان را براي ما فراهم خواهد آورد كه اعتبار تحليل هاي خود را اثبات كنيم، اگر دست كم تا حدودي به سرانجام متن خواجه نصير توجه كنيم. در اينجا بار ديگر بخت نيك، فيلسوف- رياضي داني را به ما معرفي مي كند كه هرگز مورد مطالعه قرار نگرفته، و رساله اي را در اختيار ما مي گذارد كه تاكنون براي ما ناشناخته بوده است. اين مؤلف، ابراهيم حَلَبي، فيلسوف و رياضي داني درجه دوم،(14) و رساله اش نخستين رساله شناخته شده اي است كه سراسر به تحليل تركيبي اختصاص يافته است. در حقيقت قوانين اين تحليل در آن ديگر تنها هنگامي كه به صورت جبري، زباني يا فلسفي به كار روند، ظاهر نمي شوند بلكه مستقلاً در فصلي اساسي موسوم به « احتمالات تركيبي » ظهور مي يابند. اين عنوان، نامي عام است، كه درباره جاي گشت ها سخن مي گويد درست به همان اندازه كه به ترتيبات و تركيبات و غيره مي پردازد؛ به عبارتي ديگر، درباره تمام تركيباتي سخن مي گويد كه در اين زمان مورد مطالعه قرار گرفتند. متن خواجه نصير در اين رساله اقتباس مي شود و شرح و بسط مي يابد؛ و به چنان جايگاه مهمي مي رسد كه براي تعيين و تثبيت تركيبات، نقش يك روش را انجام مي دهد. به اين رساله حلبي نگاهي سريع مي افكنيم؛ در اين اثنا درخواهيم يافت كه در رساله اي پيرامون تحليل تركيبي، براي حل مسئله اي مابعدالطبيعي چه جايگاهي وجود دارد. حَلَبي به تفكر در روش هاي ممكن گوناگون براي تحليل احتمالات تركيبي مي پردازد. هدف او روشن است:« تعيين شمارِ احتمالات تركيبي براي هر تعداد از اشياء »(15). وي روش تجربي شمارش را كه به رغم تأثيرش در موارد ساده هيچ قاعده اي كلي ارائه نمي دهد، رد مي كند. اين روشِ شمارش مثلاً براي مجموعه اي از سه عنصر ( الف، ب، ج)، هفت احتمال تركيبي ( الف، ب، ج، الف ب، الف ج، ب ج، الف ب ج ) را دربرمي گيرد. مشكل در مورد مجموعه n عنصر روشن است.(16)در مقابل، روش دوم(17)، قاعده اي كلي ارائه مي دهد كه حلبي به آن مي بالد. و آن جمله اي است هم ارز un= 2un-1 +1 كه در آن un مجموعه « احتمالات تركيبي » با n عنصر است. به زبان ما:
با فرض

اين روش احتمالاً‌ براساس قاعده اي شناخته شده از اواخر قرن دهم ميلادي به وجود آمده است.

با جمع كردن به دست مي آوريم:

حَلَبي از اين روش، كه به محاسبه پيچيده هم uiها براي هر 1≤i≤n-1 نياز دارد فاصله مي گيرد. حَلَبي در تعريف روشي بهتر، ابتدا چنين آغاز مي كند:

و اينكه

سپس چند « احتمال تركيبي » را با قوانين متناظر حساب تعريف مي كند. بدين ترتيب خواهيم داشت:
1-ماده ی (18) احتمالات از نوع K- يعني، تركيبات نامكرري كه فرمول پيشين ارائه داد:

مجموع ماده و صورت(19) احتمالات از نوع K- يعني ترتيبات بدون تكرار:
3- صورت احتمالات(20) از نوع k: كافي است كه ماده را از ماده و صورت كسر كنيم

4- صورت احتمالات، مستقل از نوع؛ يعني جاي گشت n شيء يا:
n!=n(n-1) … 1.
5- ماده، صورت، و تكرار احتمالات از نوع K،(21) يعني ترتيبات با تكرار n شيء k به k كه عبارت است از بايد گفت كه واژگان فني زبان تحليل تركيبي كه حَلَبي در رساله اش آن را به كار مي برد، از اصطلاحاتي ساخته شده كه قبلاً خواجه نصير به كار برده و اختصاص به او دارد، مانند: احتمالات و تكرار؛ اما البته از ارسطو هم وام گرفته است، مثل اصطلاحات ماده و صورت. اين دو اصطلاح موجب شده است تا مسائلي را مطرح كند كه با بحث او ارتباط ندارد و در اين جا ضروري نيست و در هر صورت به وضوح آن آسيب مي زند. مثلاً مي پرسد كه آيا ماده و صورت را مي توان از يكديگر جد اكرد.
حَلَبي مي نويسد وقتي اين قواعد وضع شد « به منظور تعيين احتمالات مادي، يعني: تركيبات بدون تكرار )، روش ديگري وجود دارد كه عقول عَرضي را تعيين مي كند.» در اينجاست كه حلبي از متن خواجه نصير انتگرال مي گيرد، گاه با كلمات و گاه با بسط دادن حساب آن. بدين سان وي مثلث حسابي را تا 12 رديابي مي كند و عناصر قطري را كه « احتمالات بسيط » مي خواند مي افزايد تا عدد 4095 را كه خواجه نصير ذكر كرده است به دست آورد. آنچه وي « احتمالات مركبه »(22) مي خواند، در زير مي آيد:

(**)
برای m=4, n=12
حلبي نشان مي دهد كه عبارت ( *) مجموع تركيبات ساده و پيچيده است. به عبارت ديگر، خواهيم داشت:
(***)
وقتي 1 را از هر دو طرف كم مي كنيم، به دست مي آيد:

كه از آنجا، از هم ارزي با فرمول (*) به دست مي آوريم:

حَلَبي محاسبات بيشتري را درباره داده هايي كه خواجه نصير فراهم آورده است، ارائه مي دهد و به تأملاتي در متن سَلَف خود مي پردازد كه همگي با خواص تركيبي ارتباط دارند. ما از مسئله صدور كثرت از واحد، كه سايه كم رنگي از آن باقي مانده است بسيار فاصله گرفته ايم. محتواي هستي شناختي، كه پيش تر در خواجه نصير مبهم بود، در رساله مربوط به تحليل تركيبي كاملاً محو مي شود و تنها روش ها و نتايج لازم يا مفيد براي پيكره اين رشته رياضي را برجاي مي گذارد. بدين سان، اگر ويژگي « اصل موضوعي» نظريه ابن سينا و تمايل شديد او به هستي شناسي، اميد راه حلي رياضي براي اين مشكل مابعدالطبيعي نزد خواجه نصير را مي داشت، اين راه حل صرف نظر از مشكل مابعدالطبيعي آن، در آثار رياضي جذب مي شد. اين امر در وجودات تركيبات تا آنجا كه عقول يا هر نوع اشياء مفارق، و به هر تعداد زياد دلخواه اما محدود باشند، ممكن بود.
از ابن سينا تا حلَبي، شاهد از ميان رفتن محتواي هستي شناختي يك اعتقاد به سود روش هايي تركيبي بوده ايم، كه ظهور آن به هر حال اساساً در خدمت اين هستي شناسي بود. خواجه نصير، كه دو جريان جداي پژوهشي- مربوط به زبان شناسان و رياضي دانان- را با يكديگر متحد كرده است، بنيان گذار اين جنبش و تحليل تركيبي است. حَلبي گرچه خود رياضي داني درجه دوم بود، با اطلاق عنواني به اين دوران، وجودي مستقل به آن بخشيد. اما به نظر مي رسد بسياري ديگر بين خواجه نصير و حَلبي وجود دارند كه از خواجه نصير طوسي تأثير پذيرفته اند؛ فارسي و ابن البنّاء از اين جمله به شمار مي روند.(23)
اين نمونه، و نمونه هاي ديگري از اين قبيل، گواهي هستند بر اهميت فلسفه رياضي در اسلام قديم. نيز نشان مي دهد كه رياضيات در فلسفه نقشي عمده داشته است، كه البته چندان جاي شگفتي ندارد. با اين حال، حكايت از آن دارد كه اصالت نقش فلسفه در پيشرفت اين شاخه از رياضيات هم كمتر از آن نيست. ما در مقام مورّخ علم نمي توانيم از تاريخ فلسفه روي گردانيم؛ اما در مقام مورّخ فلسفه اسلامي، بسيار جاي تأسف است كه نقش حوزه هاي جديد معرفت را ناديده بگيريم.

پي‌نوشت‌ها:

1. دوره باستان (Late Antiquity) دوره اي است در تاريخ اروپا كه تاريخ نگاران تعيين كرده اند. و از عصر كهن تا سده هاي ميانه ( از حدود سال هاي 200 تا 700 ميلادي )‌را دربرمي گيرد. - م.
2 .توپولوژي، رشته اي از رياضيات است كه موضوعش خواصي از اشكال و هيئت هاي هندسي است كه در نتيجه همساني تغيير نمي كنند... رك: غلامحسين مصاحب، دايرة المعارف فارسي، ج1، ص 678.
3. به اهتمام سعيد دنيا، جلد 3( قاهره: 1971)، ص 217-218.
4. اين رساله را ابتدا آقاي محمد دانش پژوه معرفي و در انتشارات دانشگاه تهران 296، 13-20 منتشر كرد؛ سپس آقاي عبدالله نوراني آن را تصحيح و همراه با رساله هاي ديگر خواجه نصير در انتهاي اثر تصحيح شده خود تلخيص المحصّل ( تهران، 1980)، ص 509-515 چاپ كرد. اين دو چاپ براساس نسخه دانشگاه 1079/12 بودند. ما اين متن را [ در « تركيبات و مابعدالطبيعه: ابن سينا، خواجه نصير و حلَبي »،
Les Doctrines de la science de I’Antiquite a L ’Age classique Ancient and Classical Sciences and Philosophy (Leuven: Peeters, 1999)
تصحيح رشدي راشد و جو اِل بيارد 61-86، ص 77-86 ] براساس نسخه هاي خطي زير تصحيح كرده ايم: استانبول، اياصوفيا 4855، برگ 203r- 207r؛ تهران، دانشگاه 1079/12، برگ 16-31؛ مرعشي 7036، برگ 193r- 195r؛ آستان قدس 2798، برگ 49-51.
5.ابن سينا وجود و ماهيت را در همه موجودات از يكديگر متمايز مي سازد. در اين مورد رك:
Amelie - Marie Goichon, L a Distinction entre existence et essence (Paris, 1957)
و Michael B.Marmura « ماهيت و كليت در ابن سينا » Neoplatonism and Islamic Philosophy، ويراسته پرويز مروج ( آلباني، چاپ دانشگاه دولتي نيويورك، 1992)، ص 77-87 نيز رك:
Djémil Saliba, Suѓ la Metaphysique d’A vicenne (Pau, 1926); G.Verbeke
« درباره مابعدالطبيعه » مقدمه اي بر
Avicenna Latinus, Liber de Philosophia Prim a, by Simone Van Riet(Louvain-Leiden, 1977).
6.درباره ی اصل فيض در ابن سينا، رك: لويي گارده « در گراميداشت هزاره ابن سينا » Revue Thomiste پنجاه و نهمين سال، جلد 51، ش 2(1951): ص 333-345؛ نيكلاس هي ار « ديدگاه رازي و طوسي درباره نظريه فيض ابن سينا » در Neoplatonism and Islamic Philosophy به اهتمام مروج، ص 111-125، بويژه مقاله احمد حسنوي، « فيض »‌در Philosophie Occidentale، ص 966-972. نيز مي توان به مقالات Thérése-Anne Druart،‌« فارابي، فيض و مابعدالطبيعه»، ص 127-148 مراجعه كرد؛ مروج « ساختار نوافلاطوني بعضي از ديدگاه هاي عرفاني اسلام»، ص 75-51؛ Joseph Owens « اهميت فلسفه نوافلاطوني ابن سينايي »، ص 41-50، در Neoplatonism and Islamic Thought ذكر شده در بالا.
7.اثري كه ذكر شد، ص 216.
8.ابن سينا، الشفاء، الالهيات، تصحيح محمد موسي، سليمان دنيا و سعيد زايد، تجديدنظر و مقدمه از ابراهيم مدكور( قاهره، 1960)، 402: 1، 2، 16.
9.همان، 405-406.
10.رك: حسنوي، « فيض » و گارده كه مي نويسد:« جرياني كه ابن سينا وصف كرده در زمان صورت نمي گيرد. تقدم مبدأ نخستين بر عقول و به نحو كلي تر بر همه چيز، تقدمي ذاتي است نه زماني »، الشفاء، ج6، 2، ص 266. درباره اين مسائل نيز رك:
Herbert A. Davidson, Proofs for Eternity Creation and the Existence of God inMedieval Islamic and Jewish Philosophy (New York Oxford, 1987Thérése-Anne Druart.
«فارابي و اصل فيض »‌در
Studies in Medieval Philosophy, John F.Wippell (ed.), (Washington: The Catholic University of America press, 1987), 23-43;
و پرويز مروج، « منطق فيض گرايي و تصوّف در فلسفه ابن سينا، بخش 2».
Journal of the American Oriental Society 92 (1972): 1-18.
11.رك:به ويژه كتاب 3، فصل 4، از قياس، ج4، تصحيح سعيد زايد، مقدمه و بازبيني از ابراهيم مدكور (قاهره، 1964).
12.راشد « Combinateire et métaphysique» ص 86.
13. Ettudes dur Avicenne زير نظر ژان ژوليوه و رشدي راشد، مجموعه علوم و فلسفه عرب. مطالعه و بررسي (Paris:Les Belles Lettress,1984).
14.رساله في استخراج عدّة الاحتمالات التركيبية من ايّ عددکان: نسخه خطي استانبول، سليمانيه، حميديه، 873، برگ 69r- 86r
15.همان،‌برگ 69r
16.همان، برگ 70r
17.همان، برگ 70r- 71r
18.همان، برگ 71r
19.همان، برگ 72r
20.همان، برگ 72r- 73r
21.همان، برگ 73r- 74r
22.همان، برگ 81r
23.رشدي راشد( اعداد متحاب، بخش هاي عدد بخش پذير ...)،
Nombres amiables,Parties aliquotes et nombres figurés in Entre arithmétique et algébre.Recherches sur L`historie des mathématiques arabes (Paris:Les Belles Lettres,1984),259-299.

منبع مقاله :
گردآوري پيترز، پد؛ اقبال، مظفر؛ الحق، سيدنعمان، (1391)، فلسفه علم و دين در اسلام و مسيحيت، ترجمه جواد قاسمي، مشهد: بنياد پژوهشهاي اسلامي، چاپ